Reproducir un «triángulo de Sierpiński» (o casi) con tiza

Esta imagen representa un Triángulo de Sierpinski, dibujado con tiza en la plaza Carnot de Lyon. Criamos a doce, incluidos cinco niños, en dos horas, en el marco de la Proyecto #StreetMath.

El propósito de #StreetMath es crear obras artísticas y cívicas de inspiración. matemático. Es un laboratorio de exploración urbana abierto a todos. Nuestro trabajo en las plazas de lyon son efímeras y desaparecen con la lluvia. Si vives en Lyon o no muy lejos, ¡ven y únete a nosotros!

Entonces, ¿qué estábamos dibujando ese día?

¿Un mapa donde cada punto es un cruce de caminos?

Estamos razonablemente decepcionados con un queso muchos agujeros, ¡no hay casi nada para comer! Por otro lado, matemáticamente, este queso puede resultar muy atractivo.

Un ejemplo de un objeto perforado es el triángulo de Sierpiński. Lleva el nombre del matemático polaco Waclaw Sierpinski quien, en 1915, resolvió el siguiente problema gracias a este triángulo: encontrar un mapa de carreteras donde cada punto fuera un cruce de caminos. Inmediatamente sentimos que esta carta debe ser muy compleja…

Vea cómo construir un triángulo de Sierpiński. Toma un triángulo equilátero completo. Luego dibuje un agujero triangular, cuyos vértices estén ubicados en el medio de los bordes del triángulo inicial; esto ocupa una cuarta parte de su área. Sigue quitando un triángulo en el medio de cada triángulo que aparece… ¡hasta el infinito! El valor obtenido en el límite ya no tiene área, porque en cada etapa de esta pérdida de peso, el área total se multiplica por 0,75 (las tres cuartas partes restantes).

Y es casi un mapa de Sierpińsky, excepto por las tres esquinas del triángulo inicial donde nuestra bicicleta tendrá que girar 60 grados. ¡Al colocar seis triángulos de Sierpiński en un hexágono, el problema de las esquinas se resuelve y nuestro mapa hexagonal está listo!

​El triángulo de Sierpiński, línea por línea

Encuentra un lugar cuyos adoquines estén escalonados. Tome un poco de tiza, invite a los transeúntes a unirse a usted y comience.

Pinte uno de los adoquines (preferiblemente en el medio de un borde del cuadrado). Ahora vale 1, los otros cuadrados vacíos valen 0. Este primer cuadrado estará en la parte superior del triángulo de Sierpiński. En la línea debajo de este primer mosaico, cada mosaico será “la suma” de los dos que están arriba, con una particularidad: ¡1+1 = 0! Ir hacia abajo línea por línea. ¡Verás emerger el triángulo de Sierpiński, en una versión “pixelada”!

Este algoritmo nos permitió dibujar el triángulo de Sierpiński de la foto en 128 líneas. El atractivo de este patrón es su «autosimilitud»: se compone de tres copias más pequeñas de sí mismo, cada una de las cuales es un triángulo con 64 lados cuadrados. En consecuencia, el gran motivo se puede separar en tres partes independientes, en las que tres grupos trabajan simultáneamente. Un pequeño consejo práctico: primero haz cruces en los adoquines antes de colorearlos. Esto facilitará la corrección de un error que, de otro modo, se propagaría rápidamente, y dará un diseño en forma de concha.

Además, este triángulo parece más alargado de lo que realmente es, ¡pero eso es solo el efecto de la perspectiva!

una pregunta que queda

Tal vez se pregunte por qué este proceso de dibujo que sigue a un algoritmo simple, línea por línea, trae la imagen de un triángulo perforado, similar al triángulo de Sierpiński? ¡Esa es una muy buena pregunta! Y eso es exactamente para lo que son las matemáticas: encontrar las conexiones entre objetos que parecen no tener nada en común, pero terminan describiendo lo mismo.

La idea clave aquí es que las filas de mosaicos cuyos números son los potencias de 2 (1, 2, 4, 8, 16, etc.) están todos rellenados y cada uno de ellos forma la base de un triángulo perforado. Esto también significa que las líneas que siguen a estas líneas sólidas solo tendrán dos cuadrados rellenados: uno al principio y otro al final de la línea. Son estos dos paralelepípedos los que dan lugar cada uno a un nuevo triángulo con agujeros, similar al de arriba.