Fue el primero de diecisiete hijos del cirujano militar Francisco de Argerich, un catalán afincado en el Virreinato del Río de la Plata. Tras completar su formación básica, fue enviado a España para estudiar medicina en la Universidad de Cervera, donde obtuvo su doctorado en 1783.
En España se casó con Margarita Martí y tuvo el primer hijo al que nombró en honor a su padre, Francisco, quien también se convirtió en un destacado médico. Sus primeros años como profesional fueron en Barcelona, hasta su regreso al país en 1794, donde fue nombrado médico del «Colégio dos Órfãos». Poco después, se convirtió en el «Primer examinador del Protomedicate», institución responsable de la salud pública y la formación de médicos.
Argerich participó en la lucha contra las epidemias de viruela de 1794 y 1796, introduciendo con éxito la primera vacuna y vacunando gratuitamente a quienes la solicitaron. Durante las invasiones inglesas, se destacó por atender a los heridos, criollos y británicos, y entró en la «Loja da Independência» después de ser iniciado como albañil. Participó en la prefectura inaugurada el 22 de mayo de 1810, donde habló en contra del virrey Baltasar Hidalgo de Cisneros.
A pedido de la XIII Asamblea, Argerich creó el «Instituto Médico Militar», del cual fue nombrado director y cirujano jefe del ejército. Allí formó a una generación de médicos porteños. A partir de 1813 se desempeñó como cirujano en el Ejército del Norte, acompañando al general Manuel Belgrano y ayudando a los heridos en las batallas de Tucumán y Salta.
Sus problemas de salud lo obligaron a regresar a Buenos Aires, pero eso no le impidió proporcionar al general José de San Martín los suministros médicos y sanitarios necesarios para las campañas del Ejército Andino en Chile. Murió en Buenos Aires el 14 de febrero de 1820, a la edad de 61 años. En su honor, una calle, un hospital municipal y el hospital militar central llevan su nombre.
Guión de Javier Pasaragua y locución de Pita Fortín.